- [d(m_газа)/ dt ] * (v - u) = [dm(t)/ dt] * v(t) + m(t) * [dv/ dt] ,                   [1]

т. е. реактивная сила, возникающая при равномерном выбросе с постоянной скоростью продуктов горения топлива, увеличивает импульс ракеты.  В этой формуле: u - положительная постоянная величина скорости истечения газа из ракеты относительно нее самой.

Если топливо горит равномерно, то

m(t) = m₀ - at ,                                                                                                   [2]

a - коэффициент сгорания топлива, в кг/ сек. Тогда [1] можно записать как:

a * u = (m₀ - at) * [dv/ dt] .

Окончательно,

v(t) = - u * ln(1 - (a/ m₀) * t) + v₀ ,            0 < t < m_топл/ a ,                        [3]

Это и есть формула К.Э.Циолковского, хотя опасаюсь быть опровергнутым, т.к. нет под рукой  первого тома ЛЛ; называю так эту формулу по памяти.
Практическое применение полученного результата: проверим гипотезу о том, что в принципе возможно кустарным образом изготовить реактивную ракету, такую, например, которая могла бы во времена межгерманской стены перенести восточного герра Мольтке к прекрасной западной фройлен Мюллер. Заранее ясно, что с хорошим цейсовским биноклем герр Мольтке уже многократно обследовал укрепрайон стены, найдя там минное поле и старых добрых автоматчиков на вышке.
Положим массу герра равной 75 кг; массу старой бочки из-под мазута со вставками из жаропрочного материала, шлангами и т.д., также 75 кг. Массу топлива, состоящего, очевидно, из жидких фаз двух компонент, положим равной 100 кг. Таким образом:

m₀ = m_чел + m_корп + m_топл = 75 + 75 +100 = 250 кг.

Скорость сгорания топлива положим a = 10 кг/ сек, скорость истечения газа из ракеты, u = 200 м/ сек.

Взлетит ли такая ракета сразу или будет дрожать на месте, извергая фонтаны огня, пока не сожжет излишнее горючее и фрагмент ландшафта?

v_y = -u * ln (1 - (a/ m₀) * t) * sin b - g*t ,                                                        [4]

При t << m₀/ a, получаем условие для взлета:

[u * a/ m₀] * sin b > g                                                                                       [5]

Выходит, что герр Мольтке должен будет проделать еще пару дырок в днище топливного бака, и удвоить подачу топлива в камеру сгорания:

a = 20 кг/ сек.

При этом, после старта все топливо сгорит за 5 сек. За это короткое время ракета должна доставить герра в воздушное пространство по ту сторону заминированной стены, где в верхней точке траектории полета ему будет необходимо воспользоваться парашютом, свернутым так, чтобы купол раскрывался мгновенно. Таким способом раскрывают парашют смельчаки, бросающиеся вниз с башни или с обрывистого склона горы.
Критический угол b (между горизонталью и осью ракеты) для взлета составляет 38 градусов. Вычислим также максимально большие величины L - длины полета ракеты до точки катапультирования, и высоту H, с которой придется опускаться на парашюте. Зная эти параметры, герр Мольтке сможет выбрать место для старта ракеты правильно.

H = [ m₀/ a]^2 * [ u * sin b * (a/ m0) * f(gamma)  - [g/ 2] * (gamma)^2 ] ,     [6]

gamma =  m_топл//  m₀,     f(x) = [ (1-x) * ln(1-x) + x ];

При этом, зависимость высоты подьема от времени будет такова (см. график);

y(t)  = - [g* t^2]/2 + u* sin b * (m₀/a) * f(gamma * [t/ t _реакт])                            [7]

где t _реакт = 5 сек.

Рис. 1. График зависимости высоты подьема ракеты от времени при реактивном движении.

Здесь sin b равен 0.71, т.е., угол b выбран равным pi/ 4. Итак, до окончания горения топлива ракета поднимется на 41 м, пролетев при этом в горизонтальном направлении L = 160 м. Затем, в течении еще примерно 2 сек она набирает высоту по инерции:

v_{y max} = -200* ln(1-gamma)* sin b - g*t = 22 м/с,     t _инерц = 2.2 сек

За это время ракета поднимется еще примерно на 24 м. Оттолкнувшись от ракеты в верхней точке траектории через 7 сек после старта, герр Мольтке будет иметь 3 сек на то, чтобы выбросить руками спасительный купол вверх. До этого он пролетит еще около 150 м вместе с ракетой по инерции, удалившись от места старта, в целом, на 310 м. Ясно, что в этом случае точку для старта ракеты нужно выбрать так, чтобы выключение двигателя произошло как раз перед стеной, т.е., не далее 200 м от нее; тогда залетев за стену на 100 м и имея горизонтальную скорость ок 250 км/ час, герр может расчтитывать на то, что он благополучно минует бдительных сторожей, контрольно-следовые полосы и т.п.